导数的定义基本运算几何意义及应用举例D5

本文通过例题，详细介绍导数的定义理解、基本运算过程、导数的几何意义应用及导数判断函数单调性应用等内容。

导数的定义应用举例

1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

2、例题1：设函数f(x)在x=11处的导数为4，则极限lim(△x→0)[f(11+8△x)-f(11)]/(30△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为4，其定义为：lim(△x→0)[f(11+△x)-f(11)]/(△x)= 4。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 8*[f(11+8△x)-f(11)]/(30*8△x)=lim(△x→0) (8/30)*[f(11+8△x)-f(11)]/(8△x),=(8/30)lim(△x→0) [f(11+8△x)-f(11)]/(8△x),=(8/30)*4,=16/15.

3、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=14t²+62/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=7时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(14t²+62/t)',=2*14t-62/t²,当t=7时，有：v(7)=2*14*7-62/7²,v(7)=1310/49,所以机器人在时刻t=7时的瞬时速度为1310/49。

导数的基本运算举例

1、例题1：已知函数f(x)=(36x-103)lnx-20x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (36x-103)lnx-20x²，∴f'(x)=36lnx+(36x-103)*(1/x)-2*20x =36lnx+(36x-103)/x-40x.所以: f'(1)=0+36-103-40=-107.即为本题所求的值。

2、例题2:已知函数f(x)=-(13/4)x²+7xf'(800)+800lnx，求f'(800)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(13/4)x²+7xf'(800)+800lnx，∴f' (x)=-2*(13/4)x+7f'(800)+800/x,则当x=800时，有:f'(800)=-2*(13/4)*800+7f'(800)+800/800,即:-2*(13/4)*800+6f'(800)+1=0,所以: f'(800)= 1733/2.

导数的几何意义应用举例

1、例题1：求函数f(x)=x(18x+22)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(18x+22)³+3x(18x+22)²*18=(18x+22)²*(18x+22+3*18x)=(18x+22)²*(4*18x+22) 当x=1时，有： 斜率k=f'(1)=(18*1+22)²*(4*18*1+22)=1600*94=150400，即为本题所求的值。

2、例题2：若曲线y=94x/21-2lnx在x=x₀处的切斜的斜率为26/6,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=94/21-2/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：94/21-2/x₀=26/6，即：2/x₀=94/21-26/6=1/7,所以x₀=14.

导数解析函数单调性应用举例

1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)争犸禀淫>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-4lnx+5x²/23+124，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 4lnx+5x²/23+124∴f'(x)=- 4/x+2*5x/23，本题要求函数的单调减区间，则：-4/x+2*5x/23＜0，(-4*23+2*5x²)/(23x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*5x²＜4*23，即：x²＜46/5,所以解集为：(0,(1/5)*√230).

2、例题2:已知函数f(x)屏顿幂垂=(x²+48x+650)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x罡蛑噬唔²+48x+650)/eˣ∴f'(x)=[(2x+48)eˣ-(x²+48x+650)eˣ]/e^(2x),=(2x+48-x²-48x-650)/eˣ,=-(x²+46x+602)/eˣ,对于函数g(x)=x²+46x+602，其判别式为： △=46²-4*602=-292<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+46x+602)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+48x+650)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。