导数的定义基本运算几何意义及应用举例D6

1、※.导数的定义应用举例

[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=13处的导数为22，则极限lim(△x→0)[f(13+60△x)-f(13)]/(42△x)的值是多少？

解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为22，其定义为：lim(△x→0)[f(13+△x)-f(13)]/(△x)= 22。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 60*[f(13+60△x)-f(13)]/(42*60△x)

=lim(△x→0) (60/42)*[f(13+60△x)-f(13)]/(60△x),

=(60/42)lim(△x→0) [f(13+60△x)-f(13)]/(60△x),

=(60/42)*22,

=220/7.

2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=11t²+3/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=8时的瞬时速度为多少？

解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(11t²+3/t)',

=2*11t-3/t²,

当t=8时，有：

v(8)=2*11*8-3/8²,

v(8)=1405/64,

所以物体在时刻t=8时的瞬时速度为1405/64。

1、※.导数的基本运算举例

例题1：已知函数f(x)=(65x-121)lnx-17x²,求导数f'(1)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。

∵f(x)= (65x-121)lnx-17x²，

∴f'(x)=65lnx+(65x-121)*(1/x)-2*17x

     =65lnx+(65x-121)/x-34x.

所以: f'(1)=0+65-121-34=-90.

即为本题所求的值。

2、例题2:已知函数f(x)=-(9/40)x²+42xf'(8000)+8000lnx，求f'(8000)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。

∵f(x)=-(9/40)x²+42xf'(8000)+8000lnx，

∴f' (x)=-2*(9/40)x+42f'(8000)+8000/x,

则当x=8000时，有:

f'(8000)=-2*(9/40)*8000+42f'(8000)+8000/8000,

即:-2*(9/40)*8000+41f'(8000)+1=0,

所以: f'(8000)= 3599/41.

3、※.导数的几何意义应用举例

例题1：求函数f(x)=x(5x+8)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。

    [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。

解：本题对函数求导有：

f' (x)=(5x+8)³+3x(5x+8)²*5

=(5x+8)²*(5x+8+3*5x)

=(5x+8)²*(4*5x+8)

   当x=1时，有：

   斜率k=f'(1)

=(5*1+8)²*(4*5*1+8)

=169*28

=4732，即为本题所求的值。

4、例题2：若曲线y=13x/4-6lnx在x=x₀处的切斜的斜率为14/5,则x₀的值是多少?

解：对曲线y进行求导，有：

y'=13/4-6/x，

根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：

13/4-6/x₀=14/5，

即：6/x₀=13/4-14/5=9/20,

所以x₀=40/3.

5、※.导数解析函数单调性应用举例

[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。

例题1:已知函数f(x)=-22lnx+23x²/22+20，计算函数f(x)的单调递减区间。

解：对函数进行求导，有：

∵f(x)=- 22lnx+23x²/22+20

∴f'(x)=- 22/x+2*23x/22，

本题要求函数的单调减区间，则：

-22/x+2*23x/22＜0，

(-22*22+2*23x²)/(22x)＜0，

又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.

故不等式解集等同于：

2*23x²＜22*22，

即：x²＜242/23,

所以解集为：(0,(11/23)*√46).

6、  

例题2:已知函数f(x)=(x²+42x+520)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。

解：对函数求一阶导数有：

∵f(x)=(x²+42x+520)/eˣ

∴f'(x)=[(2x+42)eˣ-(x²+42x+520)eˣ]/e^(2x),

=(2x+42-x²-42x-520)/eˣ,

=-(x²+40x+478)/eˣ,

对于函数g(x)=x²+40x+478，其判别式为：

    △=40²-4*478=-312<0,

    即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，

        此时:f'(x)= -(x²+40x+478)/eˣ＜0，

    所以函数f(x)=(x²+42x+520)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。