高等数学导数几何意义等知识的应用举例之三
1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=7处的导数为20，则极限lim(△x→0)[f(7+35△x)-f(7)]/(31△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为20，其定义为：lim(△x→0)[f(7+△x)-f(7)]/(△x)= 20。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 35*[f(7+35△x)-f(7)]/(31*35△x)
=lim(△x→0) (35/31)*[f(7+35△x)-f(7)]/(35△x),
=(35/31)lim(△x→0) [f(7+35△x)-f(7)]/(35△x),
=(35/31)*20,
=700/31.
2、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=24t²+35/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=5时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(24t²+35/t)',
=2*24t-35/t²,
当t=5时，有：
v(5)=2*24*5-35/5²,
v(5)=233/5,
所以机器人在时刻t=5时的瞬时速度为233/5。
1、例题1：已知函数f(x)=(113x-99)lnx-67x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (113x-99)lnx-67x²，
∴f'(x)=113lnx+(113x-99)*(1/x)-2*67x
=113lnx+(113x-99)/x-134x.
所以: f'(1)=0+113-99-134=-120.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(19/14)x²+40xf'(2800)+2800lnx，求f'(d14)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(19/14)x²+40xf'(2800)+2800lnx，
∴f' (x)=-2*(19/14)x+40f'(2800)+2800/x,
则当x=2800时，有:
f'(2800)=-2*(19/14)*2800+40f'(2800)+2800/2800,
即:-2*(19/14)*2800+39f'(2800)+1=0,
所以: f'(2800)= 2533/13.
1、例题1：求函数f(x)=x(5x+9)³的图像在点(-2,f(-2))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(5x+9)³+3x(5x+9)²*5
=(5x+9)²*(5x+9+3*5x)
=(5x+9)²*(4*5x+9)
当x=-2时，有：
斜率k=f'(-2)
=(5*-2+9)²*(4*5*-2+9)
=1*-31
=-31，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=12x/6-12lnx在x=x₀处的切斜的斜率为14/21,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=12/6-12/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
12/6-12/x₀=14/21，
即：12/x₀=12/6-14/21=4/3,
所以x₀=9.
1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-34lnx+35x²/22+127，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 34lnx+35x²/22+127
∴f'(x)=- 34/x+2*35x/22，
本题要求函数的单调减区间，则：
-34/x+2*35x/22＜0，
(-34*22+2*35x²)/(22x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*35x²＜34*22，
即：x²＜374/35,
所以解集为：(0,(1/35)*√13090).
2、例题2:已知函数f(x)=(x²+66x+1154)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+66x+1154)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+66)eˣ-(x²+66x+1154)eˣ]/e^(2x),
=(2x+66-x²-66x-1154)/eˣ,
=-(x²+64x+1088)/eˣ,
3、对于函数g(x)=x²+64x+1088，其判别式为：
△=64²-4*1088=-256<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+64x+1088)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+66x+1154)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。