导数的定义基本运算几何意义及应用举例D2
1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=7处的导数为41，则极限lim(△x→0)[f(7+42△x)-f(7)]/(41△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为41，其定义为：lim(△x→0)[f(7+△x)-f(7)]/(△x)= 41。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 42*[f(7+42△x)-f(7)]/(41*42△x)
=lim(△x→0) (42/41)*[f(7+42△x)-f(7)]/(42△x),
=(42/41)lim(△x→0) [f(7+42△x)-f(7)]/(42△x),
=(42/41)*41,
=42/1.
2、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=16t²+15/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=7时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(16t²+15/t)',
=2*16t-15/t²,
当t=7时，有：
v(7)=2*16*7-15/7²,
v(7)=1553/49,
所以机器人在时刻t=7时的瞬时速度为1553/49。
1、例题1：已知函数f(x)=(184x-52)lnx-82x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (184x-52)lnx-82x²，
∴f'(x)=184lnx+(184x-52)*(1/x)-2*82x
=184lnx+(184x-52)/x-164x.
所以: f'(1)=0+184-52-164=-32.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(23/8)x²+24xf'(2400)+2400lnx，求f'(d14)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(23/8)x²+24xf'(2400)+2400lnx，
∴f' (x)=-2*(23/8)x+24f'(2400)+2400/x,
则当x=2400时，有:
f'(2400)=-2*(23/8)*2400+24f'(2400)+2400/2400,
即:-2*(23/8)*2400+23f'(2400)+1=0,
所以: f'(2400)= 13799/23.
1、例题1：求函数f(x)=x(16x+18)³的图像在点(0,f(0))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(16x+18)³+3x(16x+18)²*16
=(16x+18)²*(16x+18+3*16x)
=(16x+18)²*(4*16x+18)
当x=0时，有：
斜率k=f'(0)
=(16*0+18)²*(4*16*0+18)
=324*18
=5832，即为本题所求的值。
2、
例题2：若曲线y=292x/25-22lnx在x=x₀处的切斜的斜率为23/2,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=292/25-22/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
292/25-22/x₀=23/2，
即：22/x₀=292/25-23/2=9/50,
所以x₀=1100/9.
1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-43lnx+68x²/23+90，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 43lnx+68x²/23+90
∴f'(x)=- 43/x+2*68x/23，
本题要求函数的单调减区间，则：
-43/x+2*68x/23＜0，
(-43*23+2*68x²)/(23x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*68x²＜43*23，
即：x²＜989/136,
所以解集为：(0,(1/68)*√33626).
2、例题2:已知函数f(x)=(x²+8x+104)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+8x+104)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+8)eˣ-(x²+8x+104)eˣ]/e^(2x),
=(2x+8-x²-8x-104)/eˣ,
=-(x²+6x+96)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+6x+96，其判别式为：
△=6²-4*96=-348<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+6x+96)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+8x+104)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。