高三数学基础知识8道填空例题解析A17

1、类别复数与向量填空题

例题1.(5-60i)/i+60i的虚部为▁▁▁▁▁▁.

解: 虚部不含虚数符号i，所以答案C和D可排除。

(5-60i)/i+60i，分母有理化有：

=(5i-60i²)/i²+60i

=-(5i-60i²)+60i

=(60-5)i +60=55i+60，即虚部为55。

2、例题2. 6.已知向量a与b的夹角为π/3,|a|=12,|b|=2，则a·b=▁▁▁▁▁,|a-b|=▁▁▁▁▁.

解：根据向量点集计算公式有：a·b=|a|*|b|*cos(a,b)=12*2*cos(π/3)= 24*1/2=12.

|a-b|²=a²-2a·b+b²=|a|²-2*12+|b|²=144- 24+ 4=124,所以|a-b|=2√31。

3、类别函数性质解析填空题

例题1.已知函数f(x)=x²-nx+11，x＞2；(11-9n)x，x≤2是R上的增函数，则n的取值范围是:▁▁▁▁▁。

解：本题已知条件为分段函数，考察的是二次函数和一次函数单调性知识。对于y=(11-9n)x为正比例函数，因为是增函数，则11-9n＞0，即：n＜11/9。对于函数y=x²-nx+11为二次函数，开口向上，对称轴为x=n/2，该函数在区间(2,+∞)上为增函数，则2＞n/2，求出n＜4；题设还有一个条件是分段函数为R上的增函数，则当x=2时，前者大于等于后者，即：2²-2n+11≥2(11-9n)，求出：n≥7/16。取三者的交集，则7/16≤n＜11/9，所以本题所求n的取值范围为：[7/16, 11/9).

4、 

例题2.函数f(x)=ln(5x/17)在点(17e/5,1)处的切线的斜率等于▁▁▁▁▁。

解：本题考察的是导数的几何意义知识，导数是函数上切线斜率构成的函数叫导函数，简称导数。

对函数求导，有dy/dx=d(5x/17)/(5x/17)=1/x，所以切斜的斜率k=5/(17e)为本题答案。

5、类别三角函数值计算填空题

例题1.已知tan(π-ε/2)= 3/5，则sin(π/2+ε)的值为▁▁▁▁▁▁.

解：本题涉及三角函数诱导公式、二倍角公式等综合运用。对于tan(π-ε/2)=3/5，由正切函数诱导公式可知tanε/2=-3/5，所求表达式由正弦函数诱导公式有：sin(π/2+ε)=cosε。设tanε/2=t，则余弦cosε的万能公式有：cosε=(1-t²)/(1+t²)=[1-(3/5)²]/[1+(3/5)²]=8/17.

6、例题2. 已知m,n的终边不重合，且20sinm+17cosn=20sinn+17cosm，则cos(m+n)=▁▁▁▁▁。

解：本题考察三角函数和差化积以及正切万能公式的应用，涉及公式有：cos2a=(1-tan²a)/(1+tan²a),

sina-sinb=2cos(a+b)/2*sin(a-b)/2,cosa-cosb=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2，对于本题对已知条件变形有：20(sinm-sinn)= 17(cosm-cosn)，使用和差化积公式有：

20*cos(m+n)/2*sin(m-n)/2=-17*sin(m+n)/2*sin(m-n)/2，因为m，n的终边不重合，即sin(m-n)/2≠0，所以设t=tan(m+n)/2=-20/17，再由正切万能公式有：

cos(m+n)=(1-t²)/(1+t²)=[1-(-20/17)²]/[1+(-20/17)²]=-111/689,为本题的答案。

7、类别椭圆性质计算填空题

例题1.已知F₁,F₂为椭圆C:x²/289+y²/263=1的两个焦点，P为椭圆C上的任意一点，若|PF₁|=15，则|PF₂|=▁▁▁▁▁▁.

解：本题考察的是椭圆的定义知识，椭圆上的任意点与两个焦点的距离和刚好是长半轴的2倍。本题椭圆C中：a²=289＞b²=263，所以两个焦点在x轴上，则a=17，代入椭圆定义公式有：|PF₁|+|PF₂|=2*17,所以：|PF₂|=34-15= 19。

8、例题2.已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的长轴长为16，且离心率为√14/4，则C的标准方程为：▁▁▁▁▁▁。

解：本题涉及椭圆的离心率相关知识及其运用。根据题意有：2a=16，所以a=8。由离心率公式有：e=c/a，即：14/4²=(a²-b²)/a²,化简可有：b²=(1/8)*a²=8,所以椭圆C的标准方程为：x²/64+y²/8=1。