导数的定义基本运算几何意义及应用举例D4
1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=1处的导数为30，则极限lim(△x→0)[f(1+54△x)-f(1)]/(18△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为30，其定义为：lim(△x→0)[f(1+△x)-f(1)]/(△x)= 30。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 54*[f(1+54△x)-f(1)]/(18*54△x)
=lim(△x→0) (54/18)*[f(1+54△x)-f(1)]/(54△x),
=(54/18)lim(△x→0) [f(1+54△x)-f(1)]/(54△x),
=(54/18)*30,
=90.
2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=12t²+29/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=4时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(12t²+29/t)',
=2*12t-29/t²,
当t=4时，有：
v(4)=2*12*4-29/4²,
v(4)=355/16,
所以物体在时刻t=4时的瞬时速度为355/16。
1、例题1：已知函数f(x)=(186x-47)lnx-27x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (186x-47)lnx-27x²，
∴f'(x)=186lnx+(186x-47)*(1/x)-2*27x
=186lnx+(186x-47)/x-54x.
所以: f'(1)=0+186-47-54=85.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(5/34)x²+17xf'(3400)+3400lnx，求f'(3400)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(5/34)x²+17xf'(3400)+3400lnx，
∴f' (x)=-2*(5/34)x+17f'(3400)+3400/x,
则当x=3400时，有:
f'(3400)=-2*(5/34)*3400+17f'(3400)+3400/3400,
即:-2*(5/34)*3400+16f'(3400)+1=0,
所以: f'(3400)= 999/16.
1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-5lnx+26x²/16+200，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 5lnx+26x²/16+200
∴f'(x)=- 5/x+2*26x/16，
2、本题要求函数的单调减区间，则：
-5/x+2*26x/16＜0，
(-5*16+2*26x²)/(16x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*26x²＜5*16，
即：x²＜20/13,
所以解集为：(0,(2/13)*√65).
3、例题2:已知函数f(x)=(x²+48x+595)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+48x+595)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+48)eˣ-(x²+48x+595)eˣ]/e^(2x),
=(2x+48-x²-48x-595)/eˣ,
=-(x²+46x+547)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+46x+547，其判别式为：
△=46²-4*547=-72<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+46x+547)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+48x+595)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。
1、例题1：求函数f(x)=x(13x+17)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(13x+17)³+3x(13x+17)²*13
=(13x+17)²*(13x+17+3*13x)
=(13x+17)²*(4*13x+17)
当x=1时，有：
斜率k=f'(1)
=(13*1+17)²*(4*13*1+17)
=900*69
=62100，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=59x/28-24lnx在x=x₀处的切斜的斜率为23/13,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=59/28-24/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
59/28-24/x₀=23/13，
即：24/x₀=59/28-23/13=123/364,
所以x₀=2912/41.
