高等数学导数几何意义等知识的应用举例
1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
2、例题1：设函数f(x)在x=10处的导数为15，则极限lim(△x→0)[f(10+38△x)-f(10)]/(15△x)的值是多少？
解：本何盯侨题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为15，其定义为：lim(△x→0)[f(10+△x)-f(10)]/(△x)= 15。爱屈
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 38*[f(10+38△x)-f(10)]/(15*38△x)
=lim(△x→0) (38/15)*[f(10+38△x)-f(10)]/(38△x),
=(38/15)lim(△x→0) [f(10+38△x)-f(10)]/(38△x),
=(38/15)*15,
=38.
3、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=25t²+25/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=8时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(25t²+25/t)',
=2*25t-25/t²,
当t=8时，有：
v(8)=2*25*8-25/8²,
v(8)=3175/64,
所以机器人在躲讨时刻t=8时的瞬时速度为3175/64。
1、例题1：已知函数f(x)=(86x-30)lnx-41x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (86x-30)lnx-41x²，
∴f'(x)=86lnx+(86x-30)*(1/x)-2*41x
=86lnx+(86x-30)/x-82x.
所以: f'(1)=0+86-30-82=-26.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(19/36)x²+19xf'(3600)+3600lnx，求f'(d14)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(19/36)x²+19xf'(3600)+3600lnx，
∴f' (x)=-2*(19/36)x+19f'(3600)+3600/x,
则当x=3600时，有:
f'(3600)=-2*(19/36)*3600+19f'(3600)+3600/3600,
即:-2*(19/36)*3600+18f'(3600)+1=0,
所以: f'(3600)= 3799/18.
1、例题1：求函数f(x)=x(7x+10)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(7x+10)³+3x(7x+10)²*7
=(7x+10)²*(7x+10+3*7x)
=(7x+10)²*(4*7x+10)
当x=1时，有：
斜率k=f'(1)
=(7*1+10)²*(4*7*1+10)
=289*38
=10982，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=26x/16-10lnx在x=x₀处的切斜的斜率为27/17,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=26/16-10/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
26/16-10/x₀=27/17，
即：10/x₀=26/16-27/17=5/136,
所以x₀=272.
1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
2、例题1:已知函数f(x)=-8lnx+9x²/4+20，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 8lnx+9x²/4+20
∴f'(x)=- 8/x+2*9x/4，
本题要求函数的单调减区间，则：
-8/x+2*9x/4＜0，
(-8*4+2*9x²)/(4x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*9x²＜8*4，
即：x²＜16/9,
所以解集为：(0,4/3).
3、例题2:已知函数f(x)=(x²+77x+1524)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+77x+1524)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+77)eˣ-(x²+77x+1524)eˣ]/e^(2x),
=(2x+77-x²-77x-1524)/eˣ,
=-(x²+75x+1447)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+75x+1447，其判别式为：
△=75²-4*1447=-163<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+75x+1447)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+77x+1524)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。