导数定义及运算等知识的应用举例九
1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=15处的导数为21，则极限lim(△x→0)[f(15+20△x)-f(15)]/(55△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为21，其定义为：lim(△x→0)[f(15+△x)-f(15)]/(△x)= 21。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 20*[f(15+20△x)-f(15)]/(55*20△x)
=lim(△x→0) (20/55)*[f(15+20△x)-f(15)]/(20△x),
=(20/55)lim(△x→0) [f(15+20△x)-f(15)]/(20△x),
=(20/55)*21,
=84/11.
2、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=10t²+22/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=4时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(10t²+22/t)',
=2*10t-22/t²,
当t=4时，有：
v(4)=2*10*4-22/4²,
v(4)=149/8,
所以机器人在时刻t=4时的瞬时速度为149/8。
1、例题1：已知函数f(x)=(148x-113)lnx-55x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (148x-113)lnx-55x²，
∴f'(x)=148lnx+(148x-113)*(1/x)-2*55x
=148lnx+(148x-113)/x-110x.
所以: f'(1)=0+148-113-110=-75.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(5/2)x²+30xf'(200)+200lnx，求f'(d14)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(5/2)x²+30xf'(200)+200lnx，
∴f' (x)=-2*(5/2)x+30f'(200)+200/x,
则当x=200时，有:
f'(200)=-2*(5/2)*200+30f'(200)+200/200,
即:-2*(5/2)*200+29f'(200)+1=0,
所以: f'(200)= 999/29.
1、例题1：求函数f(x)=x(4x+6)³的图像在点(-1,f(-1))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(4x+6)³+3x(4x+6)²*4
=(4x+6)²*(4x+6+3*4x)
=(4x+6)²*(4*4x+6)
当x=-1时，有：
斜率k=f'(-1)
=(4*-1+6)²*(4*4*-1+6)
=4*-10
=-40，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=18x/8-2lnx在x=x₀处的切斜的斜率为20/9,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=18/8-2/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
18/8-2/x₀=20/9，
即：2/x₀=18/8-20/9=1/36,
所以x₀=72.
1、例题1:已知函数f(x)=-5lnx+62x²/16+164，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 5lnx+62x²/16+164
∴f'(x)=- 5/x+2*62x/16，
本题要求函数的单调减区间，则：
-5/x+2*62x/16＜0，
(-5*16+2*62x²)/(16x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*62x²＜5*16，
即：x²＜20/31,
所以解集为：(0,(2/31)*√155).
2、例题2:已知函数f(x)=(x²+10x+84)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+10x+84)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+10)eˣ-(x²+10x+84)eˣ]/e^(2x),
=(2x+10-x²-10x-84)/eˣ,
=-(x²+8x+74)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+8x+74，其判别式为：
△=8²-4*74=-232<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+8x+74)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+10x+84)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。