七道数学极限练习题及计算过程C03

1、1.计算lim(n→∞)(16n²-2)/(26n⁴+12n-14)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(16n²-2)/(26n⁴+12n-14)

=lim(n→∞)(16/n-2/n⁴)/(26+12/n³-14/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(23n-22n-16)/(31+11n-26n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(23n²-22n-16)/(31+11n-26n²)

=lim(n→∞)(23-22/n-16/n²)/(31/n+11/n-26),

=(23-0)/(0-26),

=-23/26。

   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 23n²-22n-16)/(31+11n-26n²)

=lim(n→∞)(46n-22)/(11-52n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(46-0)/(0-52)，

=-23/26。

3、3.求极限lim(x→1)(x³-39x+38)/(x⁴-39x+38)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-39x+38)/(x⁴-39x+38)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-38)/[(x-1)(x³+x²+x-38)],

=lim(x→1)(x²+x-38)/(x³+x²+x-38),

=(1+1-38)/(1+1+1-38),

=36/35。

4、4.求lim(x→0)(10x+22sin7x)/(27x-42sin11x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(10x+22sin7x)/(27x-42sin11x)，

=lim(x→0)(10+22sin7x/x)/(27-42sin11x/x)，

=lim(x→0)(10+154sin7x/7x)/(27-462sin11x/11x)，

=(10+154)/(27-462)，

=-164/435。

5、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(10x+22sin7x)/(27x-42sin11x)，

=lim(x→0)(10+22*7cos7x)/(27-42*11cos11x)，

=(10+22*7)/(27-42*11)，

=-164/435。

6、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(18x+34)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(18x+34)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(18x+34)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[18+(34/x)],

=1/{lim(x→∞)[18+(34/x)]},

=1/18。

7、6.求lim(x→0)(sin57x-sin21x)/sin18x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin57x-sin21x)/sin18x

=lim(x→0)2cos39xsin(18x)/sin18x,

=lim(x→0) 2cos39x,

=2cos0=2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin57x-sin21x)/sin18x,

=lim(x→0)(57cos57x-sin21cos21x)/(18cos18x)，

=lim(x→0)(57-21)/18，

=2。

8、7.求lim(x→0)(1+9x)^(25/7x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+9x)^(25/7x),

=lim(x→0){[(1+9x)^(1/9x)]}^(25*9/7),

=e^(25*9/7),

=e^(225/7)。