导数定义及运算等知识的应用举例十二

1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=9处的导数为44，则极限lim(△x→0)[f(9+21△x)-f(9)]/(44△x)的值是多少？

解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为44，其定义为：lim(△x→0)[f(9+△x)-f(9)]/(△x)= 44。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 21*[f(9+21△x)-f(9)]/(44*21△x)

=lim(△x→0) (21/44)*[f(9+21△x)-f(9)]/(21△x),

=(21/44)lim(△x→0) [f(9+21△x)-f(9)]/(21△x),

=(21/44)*44,

=21.

2、例题2:有一小车的运动方程为s(t)=17t²+40/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=9时的瞬时速度为多少？

解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(17t²+40/t)',

=2*17t-40/t²,

当t=9时，有：

v(9)=2*17*9-40/9²,

v(9)=2714/81,

所以小车在时刻t=9时的瞬时速度为2714/81。

1、例题1：已知函数f(x)=(131x-78)lnx-41x²,求导数f'(1)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。

∵f(x)= (131x-78)lnx-41x²，

∴f'(x)=131lnx+(131x-78)*(1/x)-2*41x

     =131lnx+(131x-78)/x-82x.

所以: f'(1)=0+131-78-82=-29.

即为本题所求的值。

2、例题2:已知函数f(x)=-(23/34)x²+21xf'(10200)+10200lnx，求f'(10200)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。

∵f(x)=-(23/34)x²+21xf'(10200)+10200lnx，

∴f' (x)=-2*(23/34)x+21f'(10200)+10200/x,

则当x=10200时，有:

f'(10200)=-2*(23/34)*10200+21f'(10200)+10200/10200,

即:-2*(23/34)*10200+20f'(10200)+1=0,

所以: f'(10200)= 13799/20.

1、例题1：求函数f(x)=x(12x+13)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。

    [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。

解：本题对函数求导有：

f' (x)=(12x+13)³+3x(12x+13)²*12

=(12x+13)²*(12x+13+3*12x)

=(12x+13)²*(4*12x+13)

   当x=2时，有：

   斜率k=f'(2)

=(12*2+13)²*(4*12*2+13)

=1369*109

=149221，即为本题所求的值。

2、例题2：若曲线y=161x/28-16lnx在x=x₀处的切斜的斜率为17/3,则x₀的值是多少?

解：对曲线y进行求导，有：

y'=161/28-16/x，

根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：

161/28-16/x₀=17/3，

即：16/x₀=161/28-17/3=1/12,

所以x₀=192.

1、例题1:已知函数f(x)=-46lnx+47x²/8+108，计算函数f(x)的单调递减区间。

解：对函数进行求导，有：

∵f(x)=- 46lnx+47x²/8+108

∴f'(x)=- 46/x+2*47x/8，

本题要求函数的单调减区间，则：

-46/x+2*47x/8＜0，

(-46*8+2*47x²)/(8x)＜0，

又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.

故不等式解集等同于：

2*47x²＜46*8，

即：x²＜184/47,

所以解集为：(0,(2/47)*√2162).

2、例题2:已知函数f(x)=(x²+32x+300)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。

解：对函数求一阶导数有：

∵f(x)=(x²+32x+300)/eˣ

∴f'(x)=[(2x+32)eˣ-(x²+32x+300)eˣ]/e^(2x),

=(2x+32-x²-32x-300)/eˣ,

=-(x²+30x+268)/eˣ,

对于函数g(x)=x²+30x+268，其判别式为：

    △=30²-4*268=-172<0,

    即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，

        此时:f'(x)= -(x²+30x+268)/eˣ＜0，

    所以函数f(x)=(x²+32x+300)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数