导数的定义基本运算几何意义及应用举例D1
1、※.导数的定义应用举例
[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=1处的导数为25，则极限lim(△x→0)[f(1+14△x)-f(1)]/(16△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为25，其定义为：lim(△x→0)[f(1+△x)-f(1)]/(△x)= 25。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 14*[f(1+14△x)-f(1)]/(16*14△x)
=lim(△x→0) (14/16)*[f(1+14△x)-f(1)]/(14△x),
=(14/16)lim(△x→0) [f(1+14△x)-f(1)]/(14△x),
=(14/16)*25,
=175/8.
2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=3t²+20/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=7时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(3t²+20/t)',
=2*3t-20/t²,
当t=7时，有：
v(7)=2*3*7-20/7²,
v(7)=274/49,
所以物体在时刻t=7时的瞬时速度为274/49。
1、※.导数的基本运算举例
例题1：已知函数f(x)=(47x-113)lnx-17x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (47x-113)lnx-17x²，
∴f'(x)=47lnx+(47x-113)*(1/x)-2*17x
=47lnx+(47x-113)/x-34x.
所以: f'(1)=0+47-113-34=-100.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(5/38)x²+44xf'(11400)+11400lnx，求f'(d14)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(5/38)x²+44xf'(11400)+11400lnx，
∴f' (x)=-2*(5/38)x+44f'(11400)+11400/x,
则当x=11400时，有:
f'(11400)=-2*(5/38)*11400+44f'(11400)+11400/11400,
即:-2*(5/38)*11400+43f'(11400)+1=0,
所以: f'(11400)= 2999/43.
1、※.导数的几何意义应用举例
例题1：求函数f(x)=x(19x+21)³的图像在点(0,f(0))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(19x+21)³+3x(19x+21)²*19
=(19x+21)²*(19x+21+3*19x)
=(19x+21)²*(4*19x+21)
当x=0时，有：
斜率k=f'(0)
=(19*0+21)²*(4*19*0+21)
=441*21
=9261，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=7x/27-6lnx在x=x₀处的切斜的斜率为1/8,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=7/27-6/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
7/27-6/x₀=1/8，
即：6/x₀=7/27-1/8=29/216,
所以x₀=1296/29.
1、※.导数解析函数单调性应用举例
[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-33lnx+54x²/18+42，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 33lnx+54x²/18+42
∴f'(x)=- 33/x+2*54x/18，
本题要求函数的单调减区间，则：
-33/x+2*54x/18＜0，
(-33*18+2*54x²)/(18x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*54x²＜33*18，
即：x²＜11/2,
所以解集为：(0,(1/2)*√22).
2、
例题2:已知函数f(x)=(x²+11x+80)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+11x+80)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+11)eˣ-(x²+11x+80)eˣ]/e^(2x),
=(2x+11-x²-11x-80)/eˣ,
=-(x²+9x+69)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+9x+69，其判别式为：
△=9²-4*69=-195<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+9x+69)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+11x+80)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。
